1 - 0,999... = 0 ?

[LaughingMan]

Ein widerspruchsfreies System erklären Sie als widersprüchlich[...]

Falls sie die von ihnen nicht gelösten Widersprüche nicht mehr im Kopf haben:

1. Wenn ...999 die größte natürlich Zahl sein soll,warum hat sie dann nicht die Eigenschaften einer natürlichen Zahl (sie hat keinen Nachfolger) ?
Sie wollen die Mathematik erweitern? Gut! Gehen wir die Eigenschaften mal durch: ...999 hat keinen Nachfolger. Die Zahl kann nicht in endlich vielen Schritten aus einer anderen natürlichen Zahl erzeugt werden und es gelten keine Verknüpfungen auf ihr. Alle diese Eigenschaften hat unendlich auch. Sie erweitern also um . Gut gemacht...

2. Zur Vereinfachung: . Sie behaupteten mal Folgendes (kann ich leider nicht mehr nachweisen):
(1)
Außerdem gilt (2) auch für , denn das soll ja in liegen.
Es lässt sich also leicht schlussfolgern: , also .

3. Wenn gilt, warum dann nicht Und wenn doch: ist nicht die kleinste Zahl größer Null?

Wenn ich ersthaft in meinem Gedächtnis krame, fallen mir bestimmt noch mehr ein, aber sie können ja erstmal diese auflösen.

Und weil's so schön ist zum sechsten Mal: Definieren sie bitte endlich den . Zum einfacheren Verständnis könnten sie am besten auch folgendes Beispiel vorrechnen:

[...] und mehrere sich hoffnungslos widersprechende Systeme (RTh, UTh, ETh) als wahr, als widerspruchsfrei.

Erklärte ich wo genau?



Am 30.08. editiert, um die Lesbarkeit der Matheformeln wieder herzustellen.

[A_Friend]

Denken Sie sich ein Koordinatensystem, welches ausschließlich natürliche Zahlen aufweist. Läge prinzipiell in endloser Ferne die Zahl ...999,0 auf der positiven x-Achse, ja oder nein? Falls ja, so ist diese auch als eine natürliche Zahl zu bewerten, warum auch nicht? Theoretisch könnte man durchaus bis zu dieser Zahl unter alleiniger Anwendung natürlicher Zahlen zählen, womit diese eine natürliche Zahl ist. Sind Sie fortwährend anderer Ansicht, begründen Sie diese, bitte!

Nachdem Sie hier einen 9 Monate alten Thread wieder aufgreifen, spring ich mal in die Bresche...

Fangen Sie schon mal an zu zählen, Mileva, aber Sie werden trotzdem nie die ominöse Zahl ....999 erreichen, denn diese Zahl ist kein Element der natürlichen Zahlen.

Beweis 1: Exponentialschreibweise
Nehmen wir an ...999 sei die größte natürliche Zahl. Die Anzahl der Stellen von ...999 ist entweder endlich oder unendlich.

Fall 1: Endliche Anzahl von Stellen
Dann kann ich die Zahl ...999 auch in der Form 0,999.... x 10^x darstellen, wobei x gleich der Anzahl der Stellen der Zahl ist. Addiere ich zu dieser Zahl nun 1, so erhalte ich 1 x 10^x.
Widerspruch: 1 x 10^x > 0,999... x 10^x. Also ist ...999 nicht die größte natürliche Zahl.

Fall 1: Unendliche Anzahl von Stellen
Aus ...999 wird in diesem Fall 0,999.... x 10^UE. 10^UE ist aber wiederum UE, und 0,999... x UE ist immer noch UE. Also ist ...999 keine natürliche Zahl.

Beweis 2: Summenbildung
Die Zahl ...999 mit der Stellenanzahl x kann mit Hilfe der Summenfunktion auch als Summe (i=0 -> x-1) (9 x 10^i) beschrieben werden. (Bitte die math. Formelzeichen selbst dazudenken).

Die Beweisführung ist analog zu Beweis 1: Ist x endlich und addiert man 1, so erhält man 1 x 10^x. Ist x unendlich, erhält man als letzten Summanden den Term 9 x 10^(UE-1), also wieder eine Unendlichkeit in der Potenz.

Beweis 3: Axiomatisch.
...999 kann kein Element der natürlichen Zahlen sein, da das zweite Peano-Axiom nicht gilt:
"Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist."

Man liest sich,

A. Friend

[Elrik]

Denken Sie sich ein Koordinatensystem, welches ausschließlich natürliche Zahlen aufweist. Läge prinzipiell in endloser Ferne die Zahl ...999,0 auf der positiven x-Achse, ja oder nein? Falls ja, so ist diese auch als eine natürliche Zahl zu bewerten, warum auch nicht? Theoretisch könnte man durchaus bis zu dieser Zahl unter alleiniger Anwendung natürlicher Zahlen zählen, womit diese eine natürliche Zahl ist. Sind Sie fortwährend anderer Ansicht, begründen Sie diese, bitte!

Und schon will mich Mileva in die Irre führen, weil Mileva nichts anderes kann. 1,0 ist keine natürliche Zahl, 2,0 ist keine natürliche zahl sondern eine rationale Zahl, wie sieht es mit "...999,0" aus, ist das eine natürliche Zahl? Natürliche Zahlen haben kein Komma, sind keine Bruchzahlen: "...9990/10 = ...999,0" Das machst du doch mit Absicht! Die Natürlichen Zahlen beginnen bei eins und enden bei der größten natürlichen Zahl, die keiner kennt, die darum weder mit eins, weder mit zwei, weder mit drei, weder mit vier, weder mit fünf, weder mit sechs, weder mit sieben, weder mit acht, weder mit neun, noch mit null enden muss. Außerdem läge die größte natürliche Zahl sowohl auf der positiven x- als auch auf der positiven y-Achse. Vorrausgesetzt dass diese Achsen den Selben Ursprung haben, nämlich Gott nämlich eins und die negativen Achsen nicht existieren, weil die kleinste natürliche Zahl eins ist und eins bleibt, wenn gelten soll dass es sich nur um natürliche Zahlen handelt.

[A_Friend]

...999,0 ist nicht als Punkt auf dem Zahlenstrahl zu finden, läge aber prinzipiell dennoch auf diesem, womit wir es durchaus mit einer natürlichen zu tun haben.

Ja was denn nun? Sie widersprechen sich gerade selbst: Wenn ...999 auf den Zahlenstrahl liegt, kann man diesen Punkt auch finden. Wobei dann immer noch nicht bewiesen wäre, das es eine natürliche Zahl ist, denn die Menge N ist nur eine Untermenge aller Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

Beweis 1: Exponentialschreibweise
Nehmen wir an ...999 sei die größte natürliche Zahl. Die Anzahl der Stellen von ...999 ist entweder endlich oder unendlich.

Ihre Prämisse ist bereits falsch, wodurch es logisch zwingend zu einer inkorrekten Schlussfolgerung Ihrerseits kommen muss. Die Zahl ...999,0 ist nämlich weder endlich, noch unendlich, sondern ABZÄHLBAR unendlich oder endlos. Eine Tatsache, die bei den gängigen "Beweisführungen" stets missachtet wird. Damit ist Ihre Fallaufführung hinfällig.

1. Es geht um die Anzahl der Stellen von ...999. Diese kann nur entweder endlich oder unendlich sein, da
2. Der Begriff "abzählbar unendlich" nur auf Mengen, nicht aber auf Zahlen anwendbar ist.

Bitte definieren sie also mal, was der Unterschied zwischen einer "abzählbar unendlichen" und einer endlosen Zahl ist und warum eine "abzählbar unendliche" Zahl nicht unendlich sein soll.

Ansonsten sind beide Beweise weiterhin gültig.

Dies ist lediglich eine Frage der Definiton von der Zahl 0. Wird diese der natürlichen Zahlmenge als zugehörig befunden, löst sich Ihr genanntes Problem und die Zahl ...999,0 erfüllt die Definition der natürlichen Zahlen.

Es ist unerheblich, ob die Menge N mit oder ohne 0 definiert wird. Das erste und dritte Peano-Axiom sagen zusammen aus, daß die kleinste natürliche Zahl nicht der Nachfolger einer anderen Zahl sein kann. Also ist ...999' weder 0 noch 1.

Wenn der Nachfolger aber weder 0 noch 1 sein kann, was ist dann der Nachfolger von ...999?

Man liest sich,

A. Friend

[Elrik]

Bitte definieren sie also mal, was der Unterschied zwischen einer "abzählbar unendlichen" und einer endlosen Zahl ist und warum eine "abzählbar unendliche" Zahl nicht unendlich sein soll.

Abzählbar unendlich = endlos, unendlich = überabzahlbar unendlich. Überabzählbar unendlich und abzählbar unendlich sind nicht identisch, gelle. Ich gehe mal ernsthaft davon aus, dass Sie deren Unterschied kennen.

heißt unendlich in der Mathematik nicht: Zählen können wir (endlich), aber wo die Zählung endet, wissen wir nicht (unendlich)?

[El Cattivo]

heißt unendlich in der Mathematik nicht: Zählen können wir (endlich), aber wo die Zählung endet, wissen wir nicht (unendlich)?

Nein. Unendlich ist, wenn eine Folge, Funktion oder Reihe über alle Grenzen wächst.

mfg

[Elrik]

heißt unendlich in der Mathematik nicht: Zählen können wir (endlich), aber wo die Zählung endet, wissen wir nicht (unendlich)?

Der Präzision halber differenzieren wir das Unendliche und das Endlose. Endlose = abzählbare Mengen sind der Größe nach zu ordnen und damit zählbar, jedoch ohne Ende = Menge der ganzen und der natürlichen Zahlen. Der Begriff unendlich beschreibt Mengen, die überabzählbar sind, weil nicht zu ordnen wie beispielsweise die Menge der reellen Zahlen. Überabzählbar unendlich ist somit mächtiger als abzählbar unendlich (endlos), weshalb das Ergebnis bei der Grenzwertbetrachtung von 1/ UE und 1/n, wobei n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft, unterschiedlich aus. Je "größer" der Divisor, desto "kleiner" der Quotient, daher ist: 1/UE = 0 und 1/n= der Nachfolger der natürlichen Zahl Null bzw. 1 - 0,999... oder 1/...999,0 oder die kleinste reelle Zahl.

Die Grenze der überabzählbaren Mengen ist also die menge der bereits gezählten Mengen? Okay, dann müsste ich nur noch wissen, in wie fern 1/n bzw. 1/UE der Beweis für die Grenzwertbildung sein soll. Warum 1/n und nicht n/n?

[Todoroff]

Ich möchte noch mal auf das Kernproblem aufmerksam machen, aus welchem sich alle diese Randprobleme 1=0,999 und andere (lim 1/n = 0 mit n€N)
ergeben.
Das Kernproblem (aus der Urteilchentheorie) lautet:

Ist die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen abzählbar oder unendlich.

1.
Eine Menge ist abzählbar, lassen sich ihre Elemente (der Größe nach) ordnen (Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3,...)
2.
Eine Menge heißt überabzählbar (oder unendlich), ist eine solche Ordnung nicht möglich, wie das bei der Menge der reellen Zahlen der Fall ist. Wir kennen den Nachfolger von Null und 1 und 2 und PI und ... nicht und können deshalb alle diese (reellen) Zahlen nicht (der Größe nach) ordnen.

Konkret:
Wir ersetzen in der Menge der natürlichen Zahlen N = {1,2,3....}
jede Zahl durch die Menge N selbst und erhalten so eine Menge, welche eine Vereinigung von abzähbar vielen (1,2,3,...) Mengen ist, von der jede abzählbar ist.
Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)
Ist nun diese Menge abzählbar oder nicht?
Können wir alle Elemente durchzählen oder nicht, haben wir abzählbar viele Einsen und Zweien und... vorliegen?
Ist die Menge abzählbar oder überabzählbar. Darum geht es im Kern.
CANTOR (und mit ihm die Mathematik) sagt, sie sei abzählbar. Ich sage: Sie ist überabzählbar.

[Verhulst]

Ich möchte noch mal auf das Kernproblem aufmerksam machen, aus welchem sich alle diese Randprobleme 1=0,999 und andere (lim 1/n = 0 mit n€N)
ergeben.
Das Kernproblem (aus der Urteilchentheorie) lautet:

Ist die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen abzählbar oder unendlich.

1.
Eine Menge ist abzählbar, lassen sich ihre Elemente (der Größe nach) ordnen (Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3,...)
2.
Eine Menge heißt überabzählbar (oder unendlich), ist eine solche Ordnung nicht möglich, wie das bei der Menge der reellen Zahlen der Fall ist. Wir kennen den Nachfolger von Null und 1 und 2 und PI und ... nicht und können deshalb alle diese (reellen) Zahlen nicht (der Größe nach) ordnen.

Konkret:
Wir ersetzen in der Menge der natürlichen Zahlen N = {1,2,3....}
jede Zahl durch die Menge N selbst und erhalten so eine Menge, welche eine Vereinigung von abzähbar vielen (1,2,3,...) Mengen ist, von der jede abzählbar ist.
Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)
Ist nun diese Menge abzählbar oder nicht?
Können wir alle Elemente durchzählen oder nicht, haben wir abzählbar viele Einsen und Zweien und... vorliegen?
Ist die Menge abzählbar oder überabzählbar. Darum geht es im Kern.
CANTOR (und mit ihm die Mathematik) sagt, sie sei abzählbar. Ich sage: Sie ist überabzählbar.

Selbstverständlich ist diese Menge abzählbar; darauf beruht doch die Def. für Abzählbarkeit. Deine Menge enthält übrigens wiederum nur die Natürlichen Zahlen, bei der eben die geforderte Ordnung möglich ist. Hieraus kannst Du also keine überabzählbare Menge konstruieren.

[Elrik]

Ich möchte noch mal auf das Kernproblem aufmerksam machen, aus welchem sich alle diese Randprobleme 1=0,999 und andere (lim 1/n = 0 mit n€N)
ergeben.
Das Kernproblem (aus der Urteilchentheorie) lautet:

Ist die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen abzählbar oder unendlich.

1.
Eine Menge ist abzählbar, lassen sich ihre Elemente (der Größe nach) ordnen (Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3,...)
2.
Eine Menge heißt überabzählbar (oder unendlich), ist eine solche Ordnung nicht möglich, wie das bei der Menge der reellen Zahlen der Fall ist. Wir kennen den Nachfolger von Null und 1 und 2 und PI und ... nicht und können deshalb alle diese (reellen) Zahlen nicht (der Größe nach) ordnen.

Konkret:
Wir ersetzen in der Menge der natürlichen Zahlen N = {1,2,3....}
jede Zahl durch die Menge N selbst und erhalten so eine Menge, welche eine Vereinigung von abzähbar vielen (1,2,3,...) Mengen ist, von der jede abzählbar ist.
Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)
Ist nun diese Menge abzählbar oder nicht?
Können wir alle Elemente durchzählen oder nicht, haben wir abzählbar viele Einsen und Zweien und... vorliegen?
Ist die Menge abzählbar oder überabzählbar. Darum geht es im Kern.
CANTOR (und mit ihm die Mathematik) sagt, sie sei abzählbar. Ich sage: Sie ist überabzählbar.

Was wenn beides keinen Sinn ergibt, diese Menge also weder abzählbar noch überabzählbar ist? N ist eine mit Zählen und durch eine Zahl bestimmte Menge und damit nicht nur bereits gezähltes Element von n sondern stärkste und schwächste, kurz einzige Eigenschaft von n, der Menge aller natürlichen Zahlen. Warum soll man Elemente einer Menge zählen, die bei näherer Betrachtung keine Elemente, sondern Zeichen, nämlich Ziffern sind, wie Einsen, Zweien, Dreien usw.?

[Verhulst]

Was wenn beides keinen Sinn ergibt, diese Menge also weder abzählbar noch überabzählbar ist? N ist eine mit Zählen und durch eine Zahl bestimmte Menge und damit nicht nur bereits gezähltes Element von n sondern stärkste und schwächste, kurz einzige Eigenschaft von n, der Menge aller natürlichen Zahlen. Warum soll man Elemente einer Menge zählen, die bei näherer Betrachtung keine Elemente, sondern Zeichen, nämlich Ziffern sind, wie Einsen, Zweien, Dreien usw.?

Nun kann eine Menge, so sie etwas enthält, nur Elemente enthalten; Du darfst diese Elemente gerne Zeichen, Ziffern oder Elriks nennen ...

Das, was Todoroff formuliert hat, kann am anschaulichsten als kartesisches Koordinatensystem dargestellt werden; wir brauchen im zu betrachtenden Fall nur den ersten Quadranten. So werden etwa in der Abszisse die Natürlichen Zahlen dargestellt. Über jeden Punkt entlang der Abszisse stehen als Mengen wiederum jeweils die Natürlichen Zahlen, diesmal parallel zur Ordinate - dieses nun wäre das, was Todoroff mit "Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)" meint. Da sich nun eindeutig jeweils Koordinaten zu diesen Punkten bestimmen, d. h. zuordnen lassen, ist damit der Beweis der Abzählbarkeit erbracht.


zur

[Elrik]

Was wenn beides keinen Sinn ergibt, diese Menge also weder abzählbar noch überabzählbar ist? N ist eine mit Zählen und durch eine Zahl bestimmte Menge und damit nicht nur bereits gezähltes Element von n sondern stärkste und schwächste, kurz einzige Eigenschaft von n, der Menge aller natürlichen Zahlen. Warum soll man Elemente einer Menge zählen, die bei näherer Betrachtung keine Elemente, sondern Zeichen, nämlich Ziffern sind, wie Einsen, Zweien, Dreien usw.?

Nun kann eine Menge, so sie etwas enthält, nur Elemente enthalten; Du darfst diese Elemente gerne Zeichen, Ziffern oder Elriks nennen ...

Das, was Todoroff formuliert hat, kann am anschaulichsten als kartesisches Koordinatensystem dargestellt werden; wir brauchen im zu betrachtenden Fall nur den ersten Quadranten. So werden etwa in der Abszisse die Natürlichen Zahlen dargestellt. Über jeden Punkt entlang der Abszisse stehen als Mengen wiederum jeweils die Natürlichen Zahlen, diesmal parallel zur Ordinate - dieses nun wäre das, was Todoroff mit "Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)" meint. Da sich nun eindeutig jeweils Koordinaten zu diesen Punkten bestimmen, d. h. zuordnen lassen, ist damit der Beweis der Abzählbarkeit erbracht.


zur

Nur dass es sich dabei nicht länger um Elemente der natürlichen Menge handelt. Denn wie gesagt beginnt man dank Urteilchen bei eins zu zählen. Eins ist somit und soweit kleinstes und größtes, kurz "einziges" Element der natürlichen Menge. Die natürliche Menge ist die Zahl ihrer Elemente, sind alle gezählten natürlichen Elemente. Die Menge ist nicht abzählbar, Elemente sind abzählbar sind überabzählbar, denn bei tausend Sandkörnern ist noch lang nicht Schluss.

[Todoroff]

Das, was Todoroff formuliert hat, kann am anschaulichsten als kartesisches Koordinatensystem dargestellt werden; wir brauchen im zu betrachtenden Fall nur den ersten Quadranten. So werden etwa in der Abszisse die Natürlichen Zahlen dargestellt. Über jeden Punkt entlang der Abszisse stehen als Mengen wiederum jeweils die Natürlichen Zahlen, diesmal parallel zur Ordinate - dieses nun wäre das, was Todoroff mit "Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)" meint. Da sich nun eindeutig jeweils Koordinaten zu diesen Punkten bestimmen, d. h. zuordnen lassen, ist damit der Beweis der Abzählbarkeit erbracht.

Nun, wenn es so einfach wäre, wäre es kein Problem. Es ist aber eines.

[Verhulst]

Das, was Todoroff formuliert hat, kann am anschaulichsten als kartesisches Koordinatensystem dargestellt werden; wir brauchen im zu betrachtenden Fall nur den ersten Quadranten. So werden etwa in der Abszisse die Natürlichen Zahlen dargestellt. Über jeden Punkt entlang der Abszisse stehen als Mengen wiederum jeweils die Natürlichen Zahlen, diesmal parallel zur Ordinate - dieses nun wäre das, was Todoroff mit "Wir bilden also, unmathematisch formuliert N+N+N+N... (ohne Ende)" meint. Da sich nun eindeutig jeweils Koordinaten zu diesen Punkten bestimmen, d. h. zuordnen lassen, ist damit der Beweis der Abzählbarkeit erbracht.

Nun, wenn es so einfach wäre, wäre es kein Problem. Es ist aber eines.

Und? Brauchst Du noch arg lange, bis Dir eine Begründung einfällt? ;-)




Sapere aude!

Verhulst

[Elrik]

Es gab mal jemanden der eine runde Torte die sechs centimeter hoch war in drei gleichgroße Teile schneiden sollte. Er nahm dazu drei Fäden die länger waren als der Durchmesser der Torte spannte sie in zwei centimentern abstand übereinander und schnitt die Torte ind drei Scheiben. Einer bekam nun das Obere stück mit Sahnehäupchen ein anderer bekam nun das mittlere stück und ein anderer den Boden. Ist das nicht ein geniales Realitätsbewußtsein?