Definition Grenzwert.

[Todoroff]

RPL32P12
Ob ich das archimedische Axiom verstanden habe, oder nicht, das ist mittlerweile irrelevant

wikipedia
Obwohl nach ihm benannt, stammt das archimedische Axiom nicht von Archimedes, sondern geht auf Eudoxos von Knidos zurück, der dieses Prinzip im Rahmen seiner Größenlehre einführte.
...
Archimedes’ Einfluss hat die Technik seiner Zeit und die spätere Entwicklung der Technik, insbesondere der Mechanik maßgeblich beeinflusst. Er selbst konstruierte allerlei mechanische Geräte – nicht zuletzt auch Kriegsmaschinen – und benutzte Hohlspiegel zur Bündelung von Licht.

Sie berufen sich also auf einen Massenmörder.

Archimedes’ Rechnung besagt demnach, dass in eine gedachte Kugel von der Größe unseres Sonnensystems etwa 10^64 Sandkörner hineinpassen würden.
Genial!

Zu je zwei Größen y > x > 0 existiert eine natürliche Zahl mit nx > y.
...
Für den Körper der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt.

Wir finden also keine Ihrer verlogenen Behauptungen. Sie wissen weiterhin nicht, wovon Sie babbeln, weshalb Sie kein Diskussionspartner sind.
Sie haben recht - zufrieden?

denn Sie haben ja selbst schon bestätigt, dass es in Ihrem System nicht gültig ist.
Glauben Sie es - wenn 's schee macht.

Bauen sie keine Luftschlösser, da sie doch ständig
die Schlüssel verlieren!

[Elrik]

bei Wikipedia steht:

"Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt."

Müsste Größere und Beiden und Kleinere nicht großgeschrieben werden?

In einer Strecke A von 10 cm ist die Strecke B von 3 cm dreimal enthalten und es braucht vier mal die Strecke B um die Strecke A zu übertreffen mit genau 12 cm, die in 60 cm fünfmal enthalten wäre. Relle Zahlen sind eben Längen und kennen darum keine Mengen, was auf die Zehalengerade zurückzuführen ist, die keinen Angang und kein Ende hat. Es gibt außerdem einen zahlenstrahl der einen Anfang und kein Ende oder keinen Anfang aber ein Ende hat. Und es gibt die Zahlenstrecke, was man als Lineal kennt, die einen Anfang und ein Ende hat.

[Todoroff]

RPL32P12

Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind.

Sehr gut. Und erst der Nachfolger von Null erlaubt diese Ordnung.

Sirach 1,22
Ungerechter Zorn kann nicht für recht gehalten werden.
Des Zornes Wallung führt zum Fall.

[Elrik]

In einer Strecke A von 10 cm ist die Strecke B von 3 cm dreimal enthalten und es braucht vier mal die Strecke B um die Strecke A zu übertreffen mit genau 12 cm, die in 60 cm fünfmal enthalten wäre. Relle Zahlen sind eben Längen und kennen darum keine Mengen, [...]

Die Zahl, mit der die Länge da multipliziert wird, ist eine natürliche. Die sind prima geeignet um eine Anzahl darzustellen.
Trotzdem ist das nur eine geometrische Veranschaulichung, but not the real thing.

Ja gut, aber worum geht es dann?

[Elrik]

Ja gut, aber worum geht es dann?

Es geht um das Gedankenkonstrukt der reellen Zahlen. Eine Länge in der Geometrie ist natürlich auch nur ein Gedankenkonstrukt, aber ich bin mir nicht sicher, ob man alles, was man mit reellen Zahlen anstellen kann, auch mit Längen in der Geometrie anstellen kann. Um ein ganz einfaches Beispiel zu liefern, ich kann mir unter einer Strecke, die eine Länge besitzt, die kleiner ist als Null nichts vorstellen.

Null ist auch keine Länge, es geht bei Längen immer um einen Abstand. Zwischen 1 und minus 1 liegt null auf der Zahlengerade, der Abstand beträgt 2.

[Elrik]

Null ist auch keine Länge, es geht bei Längen immer um einen Abstand. Zwischen 1 und minus 1 liegt null auf der Zahlengerade, der Abstand beträgt 2.

Also ist nicht jede reelle Zahl durch einen Abstand zu repräsentieren, das wollte ich damit deutlich machen

Reelle Zahlen liegen aber auf der Zahlengerade, also auch die Null. Nullgrad Celius zum Beispiel ist ja nicht keine Temperatur.

[Elrik]

Reelle Zahlen liegen aber auf der Zahlengerade, also auch die Null.

Ja. Und ich kann mich nicht erinnern etwas Gegenteiliges behauptet zu haben.

Reelle Zahlen findet man trotzdem ausschließlich auf der Zahlengerade die für Längen steht und nicht für MEngen, darum gibt es keine Menge der Reellen Zahlen.

[Elrik]

Vielleicht weil die Zahlengerade in beiden Richtungen unendlich ist ausgehend von null der kleinsten positiven reellen Zahl.

[Todoroff]

RPL32P12
Was versteht man hier unter dem Grenzwert einer Folge?
Die Frage ist hinreichend beantwortet worden. Ich bin Ihnen sogar so weit entgegengekommen, Ihre ganz speziellen Probleme aufgrund Ihrer Unfähigkeit, meine diesbezüglichen Ausführungen auf meiner HP zu verstehen, zu klären.
Das Thema ist also beendet.
Machen Sie Ihre Hausaufgaben und lesen Sie sich ein in meine Beweisführung.
Fazit:
Das Konvergenzkriterium für den Grenzwert einer Zahlenfolge (Epsilon-Definition) ist erfüllt und hinreichend genau im Endlichen, jedoch ungeeignet, wie bewiesen, für das Abzählbare, also die Menge der natürlichen Zahlen.

1 Petrus 4,18
Und wenn der Gerechte kaum gerettet wird, wo wird man dann den Frevler und Sünder finden?

[Elrik]

Habe ich mich denn geirrt bei den reellen Zahlen? Ich verstehe gar nichts mehr.

[Todoroff]

RPL32P12
Das Axiomensystem der todoroffschen reellen Zahlen ist allen Leuten außer ihnen noch immer gänzlich unbekannt.
Korrekt, da es dieses System nicht gibt, weil dafür keine Notwendigkeit besteht, was Sie zu begreifen nicht fähig sind. Mir ist es auch unbekannt.
Und Sie schwatzen SEHR dummes Zeug daher.
Eine Zahlengrade ist in jeder Richtung vom Nullpunkt aus betrachtet abzählbar unendlich lang und nicht unendlich lang, da eine abzählbar unendlich kleine Schrittfolge nicht möglich ist. Auf ihr sind ALLE reelle Zahlen, auch PI und e abgebildet - aber nur theoretisch zu finden, nicht real. So, wie diese Zahlengerade dicht ist (keine Lücken aufweist), so liegen die reellen Zahlen dicht.
Sie mit Ihrem vorsündflutlichen Scheindenken und Scheinargumenten sollten sich einfach trollen. Aber auch Sie leiden unter geistiger Inkontinenz.

Weisheit 15,12-13
Nein, er hält unser Leben für ein Kinderspiel, das Dasein für einen einträglichen Jahrmarkt; er sagt, man müsse aus allem, auch aus Schlechtem, Gewinn ziehen. 13 Denn er weiß besser als alle, daß er sündigt, wenn er aus dem gleichen Erdenstoff nicht nur zerbrechliche Gefäße, sondern auch Götzenbilder fertigt.

[Elrik]

Vielleicht weil die Zahlengerade in beiden Richtungen unendlich ist ausgehend von null der kleinsten positiven reellen Zahl.

Das stört aber die Entscheidbarkeit nicht. Im Gegenteil, damit ist die Definition der Menge der reellen Zahlen sogar ziemlich einfach. Wenn es zu der Zahl einen Punkt auf der Zahlengrade gibt, den ich erreichen kann (also nicht infinitesimal klein, oder unendlich), so ist diese Zahl in der Menge enthalten.
Null ist nach üblicher Definition allerdings weder positiv oder negativ, denn wenn x eine reelle Zahl ist, so ist sie für x>0 positiv und x<0 negativ.
Die Null ist also nur die kleinste nicht-negative reelle Zahl.

Nocheinmal auf der Zahlengerade findet man keine Mengen, sondern Längen, das sind Größen, sind Maße. Das ist ein Unterschied. Auf einem Lineal befindet sich zwischen 1 und zwei cm zehn kleine Schritte, genannt Millimeter. Das sind keine Mengen sondern Längen, sondern Größen, sondern Maße, weil der wirkliche Abstand zwischen den Zahlen nicht durch Zahlen bestimmt ist.

[Elrik]

Das sind keine Mengen sondern Längen, sondern Größen, sondern Maße, weil der wirkliche Abstand zwischen den Zahlen nicht durch Zahlen bestimmt ist.

Eine Menge von Längen ist auch eine Menge.
Der Abstand zwischen Zahlen ist eine reelle Zahl, um den Abstand von etwas zu messen, kennt der Mathematiker das Konzept der Metrik.
Die normalerweise verwendete Metrik auf den reellen Zahlen ist . Das was da herauskommt ist zweifelsfrei eine nicht-negative reelle Zahl.

Ist das so? Ich sehe da überhaupt gar keine Zahl nur Striche und Buchstaben und Symbole und unmöglich ausführbare Rechen-Operationen, weil keine Zahlen da sind, oder kann man behaupten a + b = c , weil 1+2=3 ist demnach wäre b +b = d weil 2+2=4 ist?


Es ist ja unwichtig was man berechnet. 1-1 ist ja immer null. Ich habe ein Tafelwerk aus dem Hause Cornelsen und darin steht: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} also von wegen eins ist die kleinste natürliche Zahl, sagt Cornelsen.

Offenbar verstehen Sie etwas anderes unter einem Abstand.

Ich verstehe einen Abstand als nicht mathematisch definiert. Ein Abstand kann eine Daumendicke, eine Elle, ein Fuß, Meter oder Zoll usw. sein. Jedes dieser Maße ist unterschiedlich lang obwohl eins davorsteht: Der Abstand zwischen einem Zoll und zwei Zoll ist größer als der Abstand zwischen 1 cm und 2 cm auf ihrem jeweiligen Längenmaß.

[Elrik]

Ist das so? Ich sehe da überhaupt gar keine Zahl nur Striche und Buchstaben und Symbole und unmöglich ausführbare Rechen-Operationen, weil keine Zahlen da sind, oder kann man behaupten a + b = c , weil 1+2=3 ist demnach wäre b +b = d weil 2+2=4 ist?

Was man behaupten kann, wäre beispielsweise, dass a + b für zwei reelle Zahlen a und b immer eine reelle Zahl ergibt, weil dies von den Körperaxiomen so garantiert wird.
Die Abstandfunktion ist für zwei reelle Zahlen definiert als der Betrag der Differenz der Zahlen. Für zwei reelle Zahlen ist ihre Differenz eine reelle Zahl und der Betrag einer reellen Zahl ist eine nicht-negative reelle Zahl.

Und wenn zeischen zwei und drei die positive reelle Zahl "1" liegt, liegt zwischen drei und zwei die negative reelle Zahl "1"?

Ich habe ein Tafelwerk aus dem Hause Cornelsen und darin steht: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} also von wegen eins ist die kleinste natürliche Zahl, sagt Cornelsen.

Ob die Eins oder die Null die kleinste natürliche Zahl ist, da ist die mathematische Welt nicht ganz einheitlich. Das ist aber nicht so tragisch, da sich die Eigenschaften, die für Mathematiker an den natürlichen Zahlen so interessant sind, sich dadurch nicht wirklich ändern. Oft schreibt man für {1, 2, 3, 4, ...} und für {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Ein Grund mehr Mathematiker für idioten zu halten, denn ich habe ein weiteres Tafelwerk aus dem Hause "Volk und Wissen" worin steht: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Offenbar wissen Mathematiker, nicht was sie tun, weil sie nicht in der Welt leben die sie umgibt, sondern der Eindeutigkeit entsagen. Habe ich nun zehn Finger, weil ich bei eins zu zählen beginnen soll, gemäß "Volk und Wissen" oder habe ich neun Finger, weil ich mit Null beginnen soll zu zählen, gemäß "Cornelsen"? Wie könnten wir eine logische und einheitliche Definition treffen? Was genau macht eine Zahl natürlich, reell und rational?

Ich verstehe einen Abstand als nicht mathematisch definiert. Ein Abstand kann eine Daumendicke, eine Elle, ein Fuß, Meter oder Zoll usw. sein. Jedes dieser Maße ist unterschiedlich lang obwohl eins davorsteht: Der Abstand zwischen einem Zoll und zwei Zoll ist größer als der Abstand zwischen 1 cm und 2 cm auf ihrem jeweiligen Längenmaß.

Das ist der Begriff des Abstands im physikalischen Sinne. Die Mathematik definiert aber eben auch etwas, das als Abstand betrachtet werden kann. Im großen und ganzen sind die einander relativ ähnlich. In der Mathematik verzichtet man beispielsweise auf die Maßeinheit. (Man könnte auch anders sagen, dort gibt es nur eine Maßeinheit und diese ist die 1).

Warum nicht Null, denn ob ich nun neun Finger habe oder zehn ist kein unterschied, weil die physikalisch wirkliche ungezählte Menge sich nicht im geringsten verändert während ich mit Null beginne zu zählen? Folglich müssten auch die Siegertribühnen geändert werden: Der Nullte ist der Sieger! Wovon wollen Sie mich überzeugen? Vielleicht davon dass Wissenschaft nur eine einzige Entscheidungsfrage ist: "Wehren sich Jugendliche gegen Zigaretten oder wehren sich die Zigaretten gegen Jugendliche?" Das ist nicht so eindeutig, denn es heißt nur dass junge Menschen die sich im Wachstum befinden, besonders gefährdet sind, dabei weiß jeder dass es im Krieg nunmal Opfer gibt, das macht den Krieg ja gerade so ablehnenswert. Und das soll wissenschaft sein?

[Elrik]

Und wenn zeischen zwei und drei die positive reelle Zahl "1" liegt, liegt zwischen drei und zwei die negative reelle Zahl "1"?

Wissen Sie nicht, was der Betrag ist?
|3-2|=|1|=1
|2-3|=|-1|=1

Nee, weiß ich nicht. Ich hatte im Betragen eine schlechte Beurteilung. Es hieß immer: Er kommt nicht aus sich raus, er beteiligt sich nicht an gemeinschaftlichen Tätigkeiten und noch einiger solcher Auffälligkeiten, die schon viele berühmt machten.

Ein Grund mehr Mathematiker für idioten zu halten, denn ich habe ein weiteres Tafelwerk aus dem Hause "Volk und Wissen" worin steht: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Offenbar wissen Mathematiker, nicht was sie tun, weil sie nicht in der Welt leben die sie umgibt, sondern der Eindeutigkeit entsagen. Habe ich nun zehn Finger, weil ich bei eins zu zählen beginnen soll, gemäß "Volk und Wissen" oder habe ich neun Finger, weil ich mit Null beginnen soll zu zählen, gemäß "Cornelsen"?

Sagen sie mir mal, wo der Unterschied liegt, ob Sie endlos viele Zahlen haben, oder ob Sie davon genau eine Zahl wegnehmen, dann sind es nämlich noch immer endlos viele Zahlen.

Aber warum nur eine wegnehmen, nehmen wir alle bis auf eine weg: " Ah, Sie haben nur 7 Liter in ihren geilen Sportster getankt? Das macht dann 7 Euro." "Berlin ist 777 km von Hamburg entfernt und damit im Vergleich zur Entfernung zwischen Hanover und Köln mit 777 km die größere Strecke."

Die interessante Tatsache ist die, dass es da eine erste Zahl gibt.
Sie haben 10 Finger. Wie viele Finger zählen Sie an einem Menschen, der beide Arme verloren hat? Das sind Null. Beide Definitionen machen irgendwie Sinn, finde ich.

Eine Entfernung zwischen einem Ort den es nicht gibt und der nächstgelegenen Toilette ist ganz einfach messbar, nicht wahr? Was nicht da ist kann ich nicht zählen. Was da ist, wie meine zehn Finger, kann ich subtrahieren in dem ich eine Axt benutze, wobei es bei der zweiten Hand zu überwindbaren Schwierigkeiten käme, ergibt null und ist ein Vergleich zwischen vorher und nacher, also etwas anderes, etwas mehr als nur zu zählen, das haben sie nicht gut genug erkannt.

Dadurch, dass es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, wie die natürlichen Zahlen definiert sind, ändert sich nicht die Art, wie Menschen zählen.

Vielleicht weil es doch einen gebräuchlichen Definitionsbereich der natürlichen Zahlen gibt und nicht zwei, denn die natürliche Menge (N) enthält die jenigen Elemente (n) mit denen wir zählen, somit auch das erste und kleinste Element.

Wie könnten wir eine logische und einheitliche Definition treffen?

Wie schon gesagt, ich finde für die natürlichen Zahlen ohne die Null, und für die natürlichen Zahlen mit der Null sinnvoll. Wollen wir uns für den Rest des Gesprächs auf diese Schreibweise einigen?

Nein, das mach ich nicht mit, denn im Betragen bin ich schlecht.

Was genau macht eine Zahl natürlich, reell und rational?

Ich verweise mal auf das Buch " Basiswissen Zahlentheorie" von K. Reiss und G. Schmieder. (Da es das erste Buch zur Zahlentheorie ist, das ich auf die Schnelle gefunden habe, was sowohl natürliche, reelle, als auch rationale Zahlen einführt, außerdem scheint es recht einsteigertauglich zu sein.)

Ich wollte eigentlich auf eine zweite Unendlichkeit zu sprechen kommen. Eine wäre ja bereits die: {..., -1, 0, 1, ...}. Auf die Andere darf ich ja gar nicht zu sprechen kommen, denn Sie verbieten es mir. Statt Längenmaße gibt es ja nur eins als Einheit. Das ist Pech für mich, Gold für Sie, denn nun können Sie tun, wozu Sie hergekommen sind, nämlich mit unbedeutenden Zahlen und Variablen umherwirbeln, die darum unbedeund sind weil, ihnen der Realitätsbezug fehlt, den Sie als physikalischen Sinn fein säuberlich ausgeschlossen haben. Deshalb sind Ihre Ausführungen zwar nicht geistlos, aber sinn- und nutzlos. Man kann nämlich 1 cm in zehn Einheiten zerteilen, sprich 10 millimeter und 1 mm kann man wiederum in Micrometer und Micrometer in Nanometer zerteilen. Theoretisch ist das unendlich oft durchführbar aber nicht abzählbar unendlich oft, sondern unendlich oft weil es immer das Gleiche ist und bleibt. Der Vorteil daran ist aber, dass man verschiedene Maßeinheiten in ein Verhältnis bringen kann um eine Umrechnungszahl zu erhalten, zb. zwischen einer Meile und Kilometer, Zoll und Centimeter. Aber das darf ich ihnne nur verheimlichen.