Leider ist hier im Mathematikbereich ja nicht mehr viel los und Herr Todoroffs Ansichten zum Cantor Diagonalisierungsverfahren haben mich inspiriert ;-)
Die Behauptung ist, dass es "genausoviele" rationale Zahlen wie natürliche Zahlen gibt. Man spricht davon, dass die Mengen gleichmächtig sind. Wie kann man jetzt beweisen, dass zwei Mengen gleichmächtig sind? Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung gibt, die die eine Menge auf die andere abbildet. Was heißt jetzt bijektiv? Damit meint man eineindeutig. Das heißt für x1 ungleich x2 gilt f(x1) ungleich f(x2) für alle x1,x2 der ersten Menge. Zusätzlich gilt, für jedes Element y aus der zweiten Menge gibt es ein Urbild x der Funktion in der ersten Menge y=f(x). So jetzt zum Diagonalisierungsverfahren. Alle rationalen Zahlen lassen sich als a/b schreiben. Wir konzentrieren uns auf die positiven rationalen Zahlen. Es ist einfach die Funktion später so zu erweitern, dass alle geraden natürlichen Zahlen auf die positiven rationalen Zahlen abgebildet werden und die ungeraden auf die negativen rationalen Zahlen. Jetzt schreibe ich mal die Brüche hin:
1/1 1/2 1/3 1/4 ........
2/1 2/2 2/3 2/4 ......
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
4/1.....
So jetzt gehen wir von links oben diagonal nach oben. Daraus ergibt sich folgende Zuordnungen:
1->1/1
2->1/2
3->2/1
4->1/3
5->3/1 (eigentlich käme ja 2/2 aber das ist ja gleich 1/1 und so lassen wir gleiche Brüche weg)
6->1/3
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Diese Zuordnung ist eine bijektive Funktion. Jede natürliche Zahl wird einem Bruch zugeordnet und jedem Bruch einer natürlichen Zahl. So jetzt erweitern wir das ganze noch auf die negativen rationalen Zahlen:
1->1/1
3->1/2
5->2/1
7->1/3
9->3/1 (eigentlich käme ja 2/2 aber das ist ja gleich 1/1 und so lassen wir gleiche Brüche weg)
11->1/3
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2->-1/1
4->-1/2
6->-2/1
8->-1/3
10->-3/1 (eigentlich käme ja 2/2 aber das ist ja gleich 1/1 und so lassen wir gleiche Brüche weg)
12->-1/3
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Tja und das wars. Wie man sieht gibt es diese bijektive Abbildung und der Beweis ist vollständig.
Nun zu Todoroffs angeblichen "Widerlegung":
Das ist falsch. Auf reelle Zahlen ist eine Ordnung definiert und damit kann man sie auch ordnen. Die Ordnung der reellen Zahlen lässt sich durch unser Stellensystem gut ausdrücken. Je größer die Ziffern in der höchsten 10er Potenz einer Zahl desto größer. Sind zwei Zahlen bei der höchsten Zehnerpotenz gleich, so prüft man die nächst kleinere 10er Potenz. Beispiel 112 und 120. Bei 10^2 sind die Ziffern gleich also nächste prüfen. Bei 10^1 ist die zweite Zahl größer also fertig.Todoroff hat geschrieben: Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Man kann reelle Zahlen nicht zählen, weil man sie nicht (der Größe nach) ordnen kann.
Ganz einfach. Überhaupt keine. Zwischen zwei reellen Zahlen sind immer unendlich viele andere reelle Zahlen.Todoroff hat geschrieben: Welche Zahl aber folgt der Null in der Menge der reellen Zahlen?
Ja (wenn die Punkte periodisch heißen sollen). Leider ist die Dezimaldarstellung auf diese unschöne Darstellung angewiesen. Darum sag ich meinen Nachhilfeschüler immer, sie sollen Brüche verwenden.Todoroff hat geschrieben: Ist aber auch die Zahl 0,111... eine rationale Zahl?
Ganz einfach, es widerspricht nicht der Definition, weil zwischen 0,999... und 1 keine weiter Zahl liegt und wie oben beschrieben zwischen zwei unterschiedlichen reellen Zahlen unendlich viele andere liegen. Das ist bei 0,999... und 1 nicht der Fall also sind die Zahlen gleich.Todoroff hat geschrieben: Die natürliche Zahl 1 ist gleich der reellen Zahl 0,999 ... Beide Zahlen sind identisch.
Wie können eine natürliche Zahl und eine nicht natürliche, reelle Zahl identisch miteinander sein?
e und pi sind keine Naturzkonstanten, weil diese Konstanten auch ohne die Natur existieren könnten. Die Ladung des Elektrons oder die Lichtgeschwindigkeit sind Naturkonstanten, weil ohne Elektronen und ohne Licht, keine Ladung bzw. Lichtgeschwindigkeit. Die Ordnung der Materie repräsentieren die natürlich überhaupt nicht. Was soll das überhaupt sein?Todoroff hat geschrieben: Die Eulersche Zahl e ist wie die Zahl pi eine Naturkonstante und ebenfalls eine irrationale Zahl. Sie repräsentiert die Ordnung der Materie
Ab hier wird es graussig. ...999,0 ist nicht definiert? Falls das ... soetwas wie unendlich viele 9 repräsentieren soll, dann ist das keine Zahl mehr. Es ist dann nix anderes als ein ganz komisches Zeichen für unendlich. Da der Rest darauf beruht, kann man den Rest von Hr. Todoroffs Ausführungen vergessen.Todoroff hat geschrieben: Wir bilden das Spiegelbild der Zahl
MfG cfg
