Unendlich viele ganze Zahlen

[LaughingMan]

Ihre Aussage war zwar interessant zu lesen, aber trug nicht zur geführten Diskussion bei: Bitte geben sie ein Gegenbeispiel zur Paarungsfunktion an, wenn sie weiterhin von deren Falschheit überzeugt sind.

Und bedenken sie: Ich habe mich bisher jeder ihrer Fragen gestellt!

[Todoroff]

"Sind N und N² gleichmächtig?"

Diese Frage ist (an anderer Stelle bereits) beantwortet. Cantor behauptet,
daß sie gleichmächtig sind, ich das Gegenteil.
Was verstehen Sie unter einer PAARUNGSFUNKTION?

[LaughingMan]

"Sind N und N² gleichmächtig?"

Diese Frage ist (an anderer Stelle bereits) beantwortet. Cantor behauptet, daß sie gleichmächtig sind, ich das Gegenteil.
Was verstehen Sie unter einer PAARUNGSFUNKTION?

Sie geben den letzten Stand der Diskussion richtig wieder. Aber geklärt ist die Frage damit natürlich nicht. Aber die Paarungsfunktion kann uns bei der Beantwortung dieser Frage große Hilfe leisten.

Abgesehen davon, dass sich hinter dem rot geschriebenen Wort ein Link verbirgt, der genau erklärt worum es sich dabei handelt, bin ich sehr überrascht, dass sie diesen Ausdruck nicht kennen. Schließlich haben sie seine Falschheit gezeigt - trotz Unkenntnis?

Bei der Paarungsfunktion handelt es sich um eine Bijektion von N nach N². Deren Existenz bedeutet nach der Definition der Kardinalität von Mengen, dass N² und N gleichmächtig sind.

Behaupten sie aber diese Mengen wären es nicht, sagen sie gleichzeitig, dass sie über die Funktion nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden. Es muss also mindestens eine Zahl geben, die in N doppelt "getroffen" wird (nicht injektiv) oder aber Zahlen, die gar nicht "getroffen" werden (nicht surjektiv). Bringen sie ein Gegenbeispiel und sie haben auf unumstößliche Weise gezeigt, dass Cantor tatsächlich falsch lag.

[_8t88_]

Das N und N² gleichmächtig sind ist ja wohl auch ohne Beweise sofort ersichtlich.

[Zerebralzebra]

Das N und N² gleichmächtig sind ist ja wohl auch ohne Beweise sofort ersichtlich.

Aber doch wohl nur für den, der den Heiligen Geist hat.

[Todoroff]

Bei der Paarungsfunktion handelt es sich um eine Bijektion von N nach N².

N² ist eine mir nicht bekannte Schreibweise. Heißt das N x N? Oder formuliert:
N² ist eine aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge?

[LaughingMan]

N² ist eine mir nicht bekannte Schreibweise. Heißt das N x N? Oder formuliert: N² ist eine aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge?

An sich bedeutet A² das karthesische Produkt (A x A) zweier Mengen A. N² wäre also N x N. Bei genauem Hinschauen fällt allerdings auf, dass dies "eine aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge" ist.

[Todoroff]

Bei genauem Hinschauen fällt allerdings auf, dass dies "eine aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge" ist.

Dann erklären Sie uns eine Abbildung von 1 (Element von N) auf abzählbar
viele 1-en (Element von N²), welche real ist, also endlich, also zu einem Ende
kommt, so daß derselbe Prozeß mit 2 begonnen werden kann.

[LaughingMan]

Natürlich werde ich mich auch bei diesem Beitrag an die Begrifflichkeiten der herkömmlichen Mathematik halten... Für die, die sich nicht ständig damit beschäftigen zumindest eine kurze Erklärung zu einigen Ausdrücken:

Eine Abbildung führt von einer Menge (z.B. der Menge aller erschienenen Bücher) in eine andere Menge (z.B. die Menge der gültigen ISBN).
Sie ist surjektiv, wenn alle Elemente der Zielgruppe getroffen werden (es gibt aber noch unvergebene und dennoch gültige ISBN, also wäre unsere Funktion nicht surjektiv).
Werden sie alle nur höchstens einmal getroffen werden (jede ISBN gehört zu höchstens einem Buchtitel - also injektiv), nennt man die Abbildung injektiv.
Ist sie beides gleichzeitig, nennt man sie bijektiv und man kann sie in beide Richtungen beschreiten (bildet man von den Buchtiteln nur auf die existierenden ISBN ab, dann kann man jederzeit von einem zum anderen wechseln und umgekehrt - also bijektiv).

Dann erklären Sie uns eine Abbildung von 1 (Element von N) auf abzählbar viele 1-en (Element von N²), welche real ist, also endlich, also zu einem Ende kommt, so daß derselbe Prozeß mit 2 begonnen werden kann.

Die Forderung macht schon allein deswegen keinen Sinn, weil eine Abbildung immer nur ein Element auf ein anderes abbilden kann (laut Definition!) und nicht eines auf mehrere und dementsprechend auch nicht auf abzählbar viele.

Aber das ist auch gar nicht nötig, um eine Bijektion von N nach N² zu finden. Um das Nachvollziehen des Vorganges mit Hilfe anderer Quellen zu vereinfachen, werde ich die natürlichen Zahlen mit der 0 vereinigen. Die so entstandene Menge ist selbstverständlich immer noch abzählbar und ändert so nichts an der Problemstellung.

Schreiben wir die "aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge" einfach mal auf (natürlich nicht komplett, denn das dauert ja unenedlich lange...). In die erste Spalte schreibe ich die erste Menge, in die zweite Spalte sie zweite usw... das ganze sieht dann so aus:



Jetzt beginne ich die Elemente von null an zu nummerieren. Macht man dies aber Spalten- oder Zeilenweise, so kann man keine Spalte bzw. Zeile jemals zu Ende bringen (jede einzelne ist ja unendlich lang) und somit nie in der nächsten beginnen. Wie löst man dieses Problem? Man zählt in diagonaler Richtung, denn jede Diagonale ist nur endlich lang. Schreibt man an die Nummerierung an die Stelle der entsprechenden Elemente, erhält man folgendes Bild:



Die so gewonnene Abbildung stellt eine Bijektion von N nach N² dar, da jedem Element aus N² (z.B. der 3 aus der zweiten Menge) eine natürlich Zahl (in diesem Fall 11) zugeordnet wird. Man zählt also quasi N² durch. Genau das entspricht der Definition einer abzählbaren Menge. Gezeigt wurde also: N² ("eine aus abzählbar vielen abzählbaren Mengen bestehende Menge") ist abzählbar.

Wer sich mit Bildern nicht zufrieden gibt, kann gerne über der Formel brüten:




PS: Behauptet man, dass die Menge N² nicht abzählbar ist, bedeutet das gleichzeitig, dass man die bijektive Eigenschaft der obigen Funktion bestreitet. In diesem Fall müsste also ein Gegenbeispiel existieren. Es muss also mindestens eine Zahl geben, die in N doppelt "getroffen" wird (nicht injektiv) oder aber Zahlen, die gar nicht "getroffen" werden (nicht surjektiv).

[Todoroff]

LaughingMan

Sie beschreiben das CANTORsche Diagonalverfahren, dessen Falschheit ich
mir zumindest einbilde, bewiesen zu haben.
Der (Denk-) Fehler, den Sie machen (und Cantor), ist die Übertragung von
Eigenschaften endlicher Mengen auf AU-Mengen (wie N).
Wieder sind Sie dabei, nur damit Sie verstehen, was ich meine:
UE-UE=0
Im AU gibt es AU viele Zahlen, die nicht abbildbar sind, weil niemand sie kennt.
In diesem Diagonalverfahren gibt es
AU Diagonalen
mit AU Elementen.
Ihre Behauptung trifft eben nur auf endlich viele Diagonalen zu.
Darin liegt die Falschheit des Cantorschen Diagonalverfahrens.

Das Problem wird nicht gelöst, sondern von Cantor nur verlagert in
AU Diagonalen mit AU Elementen und damit verschleiert, weil es genau das
ursprüngliche Problem ist.

[Elrik]

Zum Glück entgeht niemandem, dass die Potenz des Problems nicht größer ist als das Problem. Hast du ein Loch an einem Knie deiner Hose? Schneide es heraus und nähe es an einer unauffälligeren Stelle deiner Hose wieder dran.

Die Forderung macht schon allein deswegen keinen Sinn, weil eine Abbildung immer nur ein Element auf ein anderes abbilden kann (laut Definition!) und nicht eines auf mehrere und dementsprechend auch nicht auf abzählbar viele.

Soll das jetzt bedeuten, dass sie, als überstudierter Lackaffe mit 1 nicht rechnen können?

Aber das ist auch gar nicht nötig, um eine Bijektion von N nach N² zu finden. Um das Nachvollziehen des Vorganges mit Hilfe anderer Quellen zu vereinfachen, werde ich die natürlichen Zahlen mit der 0 vereinigen. Die so entstandene Menge ist selbstverständlich immer noch abzählbar und ändert so nichts an der Problemstellung.

Ausweichen is nich! 'eins' war gegeben, also los! Ich würde nie auf die Idee kommen natürliche Zahlen in eine unnatürliche Zahl, 0 zu vereinen. DAs käme dem Umstand gleich, die Weisheit aller Menschen und die Weisheit Gottes in Nichts zusammenzufassen!

[_8t88_]

Und wieder wurde eine Diskussion mit Beleidigungen ohne Argumente abgewürgt. Ich finde nicht dass das zur Wahrheitsfindung beiträgt.

[Todoroff]

_8t88_

Und wieder wurde eine Diskussion mit Beleidigungen ohne Argumente abgewürgt. Ich finde nicht dass das zur Wahrheitsfindung beiträgt.

Und wie beweisen Sie diesen verlogenen Schwachsinn?

[Elrik]

_8t88_

Sicher, wenn einer meint: das größte und das kleinste Teil der Welt ergeben zusammengefasst, Null und Nichts!

[LaughingMan]

Sie beschreiben das CANTORsche Diagonalverfahren, dessen Falschheit ich mir zumindest einbilde, bewiesen zu haben.

Nein, ich beschreibe die Paarungsfunktion! Es handelt sich zwar um ähnliche Herangehensweisen, aber sie sollten mehr auf Details achten, denn es existieren Unterschiede: Im Diagonalverfahren wird z.B. 2/4 ausgelassen, da es sich um einen ungekürzten Bruch handelt

Im AU gibt es AU viele Zahlen, die nicht abbildbar sind, weil niemand sie kennt.

Wie hier dargelegt, gibt es diese Zahlen nicht.

In diesem Diagonalverfahren gibt es AU Diagonalen mit AU Elementen.

Nein! In diesem Verfahren gibt es abzählbar unendlich viele Diagonalen von denen jede endlich viele Elemente hat.

Ihre Behauptung trifft eben nur auf endlich viele Diagonalen zu. Darin liegt die Falschheit des Cantorschen Diagonalverfahrens.

Nein! Eben nicht! Man zerlegt die natürlichen Zahlen in endlich lange Blöcke und jeder Block wird einer Diagonalen zugewiesen. Selbstverständlich kann man eine unendliche Menge in unendlich viele endliche Blöcke zerlegen.


Und zu dem Beweis auf ihrer Homepage:

Die Falschheit dieses Verfahrens [der als Diagonalisierungsverfahren missverstandenen Paarungsfunktion - Anm. v. LaughingMan] ist leicht zu sehen. Gezeigt werden sollte, daß die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen Mi eine abzählbare Menge ergibt.
Betrachten wir die Menge aller Diagonalen Di , so ist leicht zu erkennen, daß von allen abzählbar vielen Diagonalen es nur endlich viele gibt, die endlich viel Elemente enthalten. Entfernen wir diese endlich vielen Diagonalen, so liegen uns abzählbar unendlich viele Diagonalen Di vor, von denen jede abzählbar unendlich viel Elemente enthält. Wir sind also keinen Schritt weiter. Die Behauptung wird nicht bewiesen, sondern im Beweis nur wiederholt, was kein Beweis ist.

Offensichtlich hat die Diagonale i Elemente (bei Bedarf per Induktion überprüfbar).
"Betrachten wir die Menge aller Diagonalen Di , so ist leicht zu erkennen, daß von allen abzählbar vielen Diagonalen es nur endlich viele gibt, die endlich viel Elemente enthalten."
Es gibt also eine endliche und dementsprechend beschränkte Menge von Diagonalen mit einer endlichen Zahl von Elementen. Diese Menge von Diagonalen hat also ein Maximum, also eine "größte endliche Diagonale".
Sei diese Diagonale . Ihrer Behauptung nach hat jetzt die Diagonale unendlich viele Elemente. Offensichtlich (und wie gesagt per Induktion beweisbar) hat sie aber j+1 Elemente.

Die von ihnen konstruierten Widersprüche fußen auf einer Verwendung der Unendlichkeitsbegriffe, wie sie nicht mit den mathematischen Definitionen übereinstimmen. So konstruierte Paradoxa widerlegen nichts, da sie nicht dem Regelsystem gefolgt sind, dessen Widersprüchlichkeit beweisen werden soll.