Unbewiesen - Primzahlzwillinge

[Todoroff]

Um zu zeigen, daß es nur endlich viel Primzahlzwillinge gibt,
ist es hinreichend zu zeigen, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt.

Der hier aufgeführte Beweis ist ein sogenannter Widerspruchsbeweis
(zweifach). Er widerlegt den Beweis, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
In ihm ist aber enthalten, daß es nur endlich viele Primzahlen geben kann,
weil nur endliche Zahlen überprüfbar sind, ob sie nun eine Primzahl sind oder
nicht.

Zunächst müssen Definitionen getroffen werden zum Verständnis.
Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist größer als die
Mächtigkeit jeder endlichen Menge und kleiner als die Mächtigkeit der
Menge der reellen Zahlen. Das heißt:
Die Menge der natürlichen Zahlen ist endlos, das ist NICHT-UNENDLICH
und NICHT-ENDLICH, das ist ABZÄHLBAR UNENDLICH. Man kann ohne Ende
zählen (es läßt sich keine Zahl finden, zu welcher EINS nicht addiert werden
kann).

Beweis:
Die kleinste aller Primzahlen ist 2 - selbige lassen wir jetzt außen vor.
Wir nummerieren alle Primzahlen durch mit p1, p2, p3, ..., pn. 2 nennen
wir einfach p0.
p0=2
p1=3
p2=5
p3=7
p4=11
p5=13
p6=17
p7=19
p8=23
p9=29
um die ersten zehn Primzahlen mal aufzuführen.
Primzahlzwillinge sind (nach Plichta): 5-7; 11-13; 17-19

Mulitplizieren wir nun alle Primzahlen miteinander (Primfaktor-Zerlegung),
p1 * p2 * p3 *...* pn
so erhalten wir ein Zahl, die keine Primzahl ist, denn sie ist ja teilbar
durch alle Primzahlen p1, p2, p3, ..., pn

Weil alle Primzahlen (außer 2 = p0) ungerade sind, erhalten wir als Produkt
eine ungerade Zahl:
Beweis:
Zwei beliebige natürliche Zahlen n1 und n2 multiplizieren wir mit 2 und erhalten
so mit Sicherheit eine gerade Zahl, nämlich 2*n1 und 2*n2. Addieren wir zu
jeder die Zahl 1, so ist sie ungerade.
Also:
(2*n1 + 1) * (2*n2 + 1) =4*n1*n2 + 2*n1 + 2*n2 + 1
Wegen:
4*n1*2 - gerade Zahl,
erhalten wir als Ergebnis eine ungerade Zahl.

Die Multiplikation aller (n) Primzahlen miteinander ergibt eine ungerade Zahl.
Addieren wir zu dieser Zahl die Zahl 1, so erhalten wir eine gerade Zahl,
also mit Sicherheit keine Primzahl.
Wie aber nun erhalten wir die nächste Primzahl? Keiner weiß das. Also kann
es auch nicht einfach vorausgesetzt werden.
Der Beweis, es gäbe mehr als nur endlich viele Primzahlen, ist also keiner.

q.e.d.
____________________________________________________________

2. Widerspruchsbeweis
Wir nehmen an, es gäbe endlos viele Primzahlen.
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält nur endlich viele endliche Zahlen.
Das wird grundsätzlich übersehen.
Die Abzählbarkeit (Kurzbegriff für Abzählbare Unendlichkeit) wird nur durch
Zahlen erreicht, die mehr als nur endlich viele Ziffern enthalten, nämlich
abzählbar viele wie
...111
...112
...113
....
...999 (als denkbar größte natürliche Zahl)

Sicher kann man hier beginnen darüber zu streiten, was eine ZAHL ist.

Gäbe es also abzählbar viele Primzahlen, dann wären auch abzählbar viel
Primzahlen derart, daß sie abzählbar viele Ziffern enthielten.
Was heißt das nun?
In unserer Produktbildung (Multiplikation aller Primzahlen miteinander)

p1*p2*p3*...

würden wir kein Ergebnis mehr enthalten, wäre auch nur eine Primzahl eine
solche mit abzählbar vielen Ziffern.
Nicht auszuschließen ist der Fall, daß bereits nach endlich vielen Primzahlen
eine Primzahl mit abzählbar vielen Ziffern erscheint.

q.e.d.

[LaughingMan]

Zunächst müssen Definitionen getroffen werden zum Verständnis.

Ist nicht so extrem wichtig, aber der Vollständigkeit halber: Sie machen hier einen technischen Fehler, denn das Folgende sind keineswegs Definitionen, sondern Sätze - also keine im Vorhinein festgelegten sondern rückwirkend festfestellte Eigenschaften.

Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist größer als die Mächtigkeit jeder endlichen Menge und kleiner als die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen.

Bis hierher richtig - abgesehen vom oben Angesprochenen.

Das heißt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist endlos, das ist NICHT-UNENDLICH und NICHT-ENDLICH, das ist ABZÄHLBAR UNENDLICH. Man kann ohne Ende zählen (es läßt sich keine Zahl finden, zu welcher EINS nicht addiert werden kann).

Wie sie es hier benutzen sind "endlos" und "unendlich" identisch. Wie ich - in einem von ihnen dankenswerterweise gelöschten Post - erklärte ist eine Menge unendlich, wenn für die Anzahl ihrer Elemente keine obere Schranke existiert. Zusätzlich kann man dann noch zwischen "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" unterscheiden.
Aber ihre Aussage, die Menge der natürlichen sei abzählbar unendlich ist natürlich richtig.

Beweis:
Die kleinste aller Primzahlen ist 2 - selbige lassen wir jetzt außen vor.

Und genau hier weichen sie vom bisherigen Beweis ab. Wir sehen weiter unten, wie sie so das gewünschte Ergebnis (keine neue Primzahl) erreichen.

Weil alle Primzahlen (außer 2 = p0) ungerade sind, erhalten wir als Produkt eine ungerade Zahl: [...]

Die Multiplikation aller (n) Primzahlen miteinander ergibt eine ungerade Zahl. Addieren wir zu dieser Zahl die Zahl 1, so erhalten wir eine gerade Zahl, also mit Sicherheit keine Primzahl.

Warum ihre Anwendung den echten Beweis in Wahrheit bestärkt lasse ich mal außen vor. Einzig wichtig ist doch die Frage, warum der echte Beweis (den sie hier abgeändert haben) doch funktioniert. Und das ist ganz einfach:
Hätten sie die Zahl p1*p2*...*pn auch noch mit Zwei multipliziert, so wären sie nach der Addition von Eins bei einer ungeraden Zahl gelandet. Diese ist also schonmal nicht durch Zwei teilbar. Und auch jede andere Teilung durch eine beliebige Primzahl liefert offensichtlich Eins als Rest. Also: eine neue Primzahl!

Wie aber nun erhalten wir die nächste Primzahl? Keiner weiß das.

Theoretisch könnte man einfach alle folgenden Zahlen einem Primzahltest unterziehen und so zuverlässig die nächste Primzahl erhalten. Ich gebe allerdings zu, dass das bei ausreichend großen Zahlen selbst für Computer eine Menge Arbei ist. Sie meinen also wahrscheinlich, dass niemand die nächste Primzahl berechnen kann. Das ist sicherlich richtig, aber das das sagt nichts über die Existenz aus. Und mit dem oben erklärten Verfahren kann man ja zumindest immer eine weitere (größere) Primzahl berechnen.

Also kann es auch nicht einfach vorausgesetzt werden. Der Beweis, es gäbe mehr als nur endlich viele Primzahlen, ist also keiner.

Mal ebgesehen von ihrem Zirkelschluss: Führt man den Beweis richtig erhält man in der Tat eine weitere Primzahl - und zwar beliebig oft. Es gibt also unendlich viele. Diese unendliche Kardinalität ("Größe") ist abzählbar, wie einfach gezeigt werden kann (einfach nachfragen).

q.e.d.

Wieder nichts gewesen - ihre Abänderung des ursprünglichen Beweises fährt zwar vor die Wand, aber der ungeänderte wird dadurch nicht ungültig.

2. Widerspruchsbeweis
Wir nehmen an, es gäbe endlos viele Primzahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält nur endlich viele endliche Zahlen.

Schon falsch! Und zwar nicht nur nach normalen Gesichtspunkten, sondern auch nach ihren eigenen:
Nehmen sie alle diese "endlichen Zahlen" (was sollen eigentlich "unendliche Zahlen" sein?) und suchen sie das Maximum - da es nur endlich viele gibt, sollte das ja einfach zu erledigen sein. Nun folgendes:

es läßt sich keine Zahl finden, zu welcher EINS nicht addiert werden kann

Addieren sie Eins zu ihrem Maximum und sie werden sehen, dass sie schon jetzt eine größere Zahl haben.

Auch im weiteren Beweis finden sich noch mindestens drei weitere gravierende Fehler, aber ein einziger reicht zum Glück schon, um (Gegen-)beweise ungültig zu machen.


Sie haben also wieder kein schlüssiges Alternativkonzept vorgestellt ...

[Todoroff]

Zweiter Beweisschritt

Nummerieren wir alle Primzahlen durch in der Art:
p0=2
p1=3
p2=5
p3=7
p4=11
p5=13
p6=17
p7=19
p8=23
p9=29
so ergibt das Produkt aller dieser Primzahlen
p0*p1*p2*...*p9
eine gerade Zahl. Addieren wir die Zahl 1, so erhalten wir eine
Primzahl.
Oberflächlich betrachtet scheint hier ein Pimzahlen-
Bildungsgesetz vorzuliegen. Das ist aber nur die halbe Wahrheit.
Beginnen wir konkret mit den ersten Primzahlen das Produkt zu
bilden (und addieren 1):
2*3 = 6
6 + 1 = 7 - 4.Primzahl, eine (5) übersprungen

2*3*5 = 30
30 + 1 = 31 - 11.Primzahl, sieben (7,11,13,17,19,23,29) übersprungen.

2*3*5*7 = 210
210 + 1 = 211 - 47.Primzahl, 36 übersprungen

2*3*5*7*11 = 2310
2310 + 1 = 2311 - 344.Primzahl, 297 übersprungen

2*3*5*7*11*13 = 30.030
30030 + 1 = 30031 - x.Primzahl (mir unbekannt, die wievielte das ist)

9.973 ist die 1229.Primzahl.
Bei der Primzahl 30.031 haben wir also sehr viel mehr als 1.000
Primzahlen bei der Bildung übersprungen (nicht ermittelt mit diesem
Bildungsgesetz).

Das Produkt aller Primzahlen +1 liefert uns zwar eine Primzahl,
aber nicht die folgende. Die fehlenden Primzahlen, welche zu
ermitteln sind, um wieder diese Produktbildung durchzuführen,
müssen also anderweitig ermittelt werden. Mir ist nur die
Versuch-Irrtum-Methode bekannt (was ja nichts besagt).

Mir erscheint die Annahme zumindest berechtigt, daß die Zahl
der übersprungenen Primzahlen (bei dieser Produkt-Bildung + 1)
stetig zunimmt.
Ließen wir nun einen Computer die fehlenden ermitteln, so
würde sehr schnell, noch im überschaubaren endlichen Bereich,
die Kapazität (Stellenzahl) und auch die Rechenleistung
des Computers überfordert sein, d.h., eine Ermittlung der
fehlenden Primzahlen und auch die Produktbildung ist UNMÖGLICH!
Dazu brauchen wir uns nur eine Primzahl bestehend aus 100 Ziffern
vorzustellen. Wenn unsere derzeit schnellsten Computer schon
10 Millionen Jahre brauchen, nur um bis zu einer Zahl bestehend
aus 26 Ziffern (10^25 - Zahl der geschätzten Sterne) zu zählen,
so könnnten sie auch tausendmal und millionenmal schneller sein
als heute (was nie sein wird, wie ich glaube), und bräuchten doch
mehr Zeit als das Weltall alt ist.

Wir müssen erkennen:
Die Produktbildung von n real existenten Primzahlen bricht sehr
schnell ab, so daß eine Aussage, ob es endlich oder endlos viele
Primzahlen gibt, nicht zu treffen ist.
Es ist die Analogie zu irrationalen Zahlen (PI, e), deren
genauen Wert wir auch NIE ermitteln KÖNNEN. Schon im Endlichen
verliert sich die Exaktheit ins Unermeßliche, ins Nebulöse,
in den Glauben. Eine wunderschöne Spiegelung der Unmöglichkeit
der Erfassung Gottes (in die Zahlenwelt) und damit eben auch
in die Berechenbarkeit der Materie.
In meinem Denken ist auch das ein Beweis der realen Existenz Gottes
und ein Beweis dafür, daß wir nie wissen werden, wie die Materie
funktioniert, was wir in der Bibel lesen:

Hiob 9,10
Gott schuf so Großes, es ist nicht zu erforschen, Wunderdinge,
sie sind nicht zu zählen.

Hiob 26,7
Gott spannt über dem Leeren den Norden, hängt die Erde auf am
Nichts.

Sprüche 25,3
Die Himmel so hoch und die Erde so tief und das Herz des
Königs: Sie sind nicht zu erforschen.

Koh 8,17
Kein Mensch kann das Walten ergründen, das sich vollzieht
unter der Sonne. Wie sehr auch der Mensch sich müht, es
zu erforschen, er kann es doch nicht ergründen. Und wenn
auch der Weise es zu erkennen vermeint, er kann es doch
nicht ergründen.

[Anton Uwe]

1. Erst einmal ein freeundliches "Hallo an alle Forumanen hier"

2.

Bei der Primzahl 30.031 haben wir also sehr viel mehr als 1.000
Primzahlen bei der Bildung übersprungen (nicht ermittelt mit diesem
Bildungsgesetz).

30031 ist keine Primzahl.

[Elrik]

Herzlich Willkommen!

1. Erst einmal ein freeundliches "Hallo an alle Forumanen hier"

2.

Bei der Primzahl 30.031 haben wir also sehr viel mehr als 1.000
Primzahlen bei der Bildung übersprungen (nicht ermittelt mit diesem
Bildungsgesetz).

30031 ist keine Primzahl.

Weil die Zahl 30.031 durch 31.031 teilbar ist richtig? Begründen sie ihre Behauptung bitte! Ich meine das Bildungsgesetz von Primzahlen ist nicht schwer aber auffwendig. Wenn man es nicht richtig macht, unterlaufen eben Fehler. Ich versuchte die ersten einhundert Primzahlen zu herhalten und habe da bereits einen Fehler gemacht.

[Anton Uwe]

Weil die Zahl 30.031 durch 31.031 teilbar ist richtig?

Eher, weil 59 * 509 = 30.031 ist und es sich somit bei 30.031 nicht um eine Primzahl handelt.

[Todoroff]

Anton Uwe
30031 ist keine Primzahl.

Danke für diesen Hinweis. Folglich gibt es gar kein Gesetz zur Bildung von
Primzahlen, was die Berechnung der Anzahl von Primzahlen verunmöglicht,
wie ich glaube.
Ich fasse dies abermals als eine Spiegelung in die Zahlenwelt der Aussage
Gottes auf, nach welcher Materie unerforschbar ist.

Hiob 9,10
Gott schuf so Großes, es ist nicht zu erforschen, Wunderdinge, sie sind nicht zu
zählen.

[Anton Uwe]

...was die Berechnung der Anzahl von Primzahlen verunmöglicht,
wie ich glaube.

Nun, man kann zumindest sehr leicht (durch Widerspruchsbeweis) zeigen, dass es (abzählbar) unendlich viele Primzahlen gibt.

[Elrik]

Ein Versuch Primzahlen per Gesetzmäßigkeit zu erhalten ging bei mir bislang schief, daher bestätige, dass es keine Berechnung, vielmehr keine Formel, keine Gesetzmäßigkeit zur Erhaltung der Primzahlen gibt, die aber existieren also entstanden sein müssen. Nun suchen wir bei den Primzahlen ja eigentlich nur eigenschaften einer Zahl statt die Primzahl ansich, um durch die Eigenschaft zu beschließen dass es sich um eine Primzahl handelt. Die Eigenschaft ist ja die, dass die Zahl die man Primzahl nennen soll, nur durch sich und durch eins teilbar ist. Daraus folgt dass wir die Primzahlen nicht kennen. Vielleicht auch weil es sie gar nicht gibt, denn wir suchen ja nicht nach Primzahlen sondern nach bestimmten eigenschaften, und die Zahlen auf die diese eigenschaften zutreffen die nennen wir Primzahl. das selbe könnte man mit einer Sekun(där)zahl durchführen, die nur durch zwei, durch eins und durch sich selbst teilbar ist, mit dem Erfolg dass man da nicht lange suchen muss. Da ist doch schön wie Gott uns am Leben hält, gerade weil es immer weitergeht, z.B bezüglich der Primzahlen, im Gegensatz der Sekunzahlen. Gott schenkt uns das ewige Leben. Wenn das nicht so wäre, würde jeder schon lange zu ende gezählt haben! Also wären alle Zahlen bekannt, wie Primzahlen, wie die größte natürliche Zahl etc. und wir könnten uns zur letzten Ruhe begeben. Wenn man nur Zahlen sieht, und diese zählt nach welchen eigenschaften auch immer, dann endet es nie, wenn man aber z.B. Dinge zählt, besteht die hoffnung dass man die Dinge auch zuende zählt, vielmehr zuende zählen kann, sodass man dann auch glücklich sein kann über das vollbrachte Werk. Sonst wird es sinnlos ungefähr so wie einer zum Fegen einer langen Allestrasse im Herbst verpflichtet wird, mit der Aufgabe dass sich kein Laubblatt mehr auf der Alleestrasse befindet, an der Rechts und links große und viele Bäume stehen. Wenn er die Allee einmal durchfegte, kann er von vorn anfangen. Natürlich dauert der Herbst nicht an, und die Blätter, die von den Bäumen fallen sind auch nicht unzählig viele (zum Glück, denn das Ziel rückt in greifbare nähe)! Aber die Arbeit, das Fegen der Allee, ist während des Herbstes und während die Blätter von den Bäumen fallen, sehr auffwendig. Das ist dann so, als würde man niemals fertig werden, fast schon zum verzweifeln, aber natürlich nur vorrübergehend.

[Todoroff]

Anton Uwe
... man kann zumindest sehr leicht (durch Widerspruchsbeweis) zeigen, dass es
(abzählbar) unendlich viele Primzahlen gibt.

Glaubensbekenntnis

1 Samuel 2,9
Gott behütet die Schritte seiner Frommen, doch die Frevler verstummen in der
Finsternis; denn der Mensch ist nicht stark aus eigener Kraft.

[Anton Uwe]

Glaubensbekenntnis

Bei der Religion geht es um "Glauben", bei der Mathematik jedoch nur um "beweisbare Fakten/Aussagen". Man muss nicht "glauben", dass es unendlich viele Primzahlen gibt, man kann es beweisen.

"Noch-nicht bewiesene" Aussagen, wie z.B. die Existenz unendlich vieler Primzahlpaare, nennt man entsprechend vorsichtig z.B. "Vermutung".

[Elrik]

Glaubensbekenntnis

Bei der Religion geht es um "Glauben", bei der Mathematik jedoch nur um "beweisbare Fakten/Aussagen". Man muss nicht "glauben", dass es unendlich viele Primzahlen gibt, man kann es beweisen.

Entschuldigung dass ich mich einmische, aber mit kommt da eine Frage in den Sinn:

Wer ist "man" in dem Falle?

Ich meine, wenn Sie jener "man" sind und es beweisen könnnen, dann tun Sie es bitte! Ich verlangte das letzte Mal ja auch nicht einfach so eine Begründung. Ihre Aussage kann wahr sein, muss aber nicht, wahr sein. Darum ist es vorteilhaft, für alle, wenn Sie den Beweis erbringen, bzw. ihre Behauptung begründen. Und für Sie ist die Begründung ebenfalls, vorteilhaft denn was ein für alle Mal eindeutig ist, kann nicht mehr geleugnet werden und jeder der es hört und für wahr erkennt, kann es wieder erklären, wenn es denn erklärt werden muss. nämlich jemandem der sich damit gar nicht auskennt.

"Noch-nicht bewiesene" Aussagen, wie z.B. die Existenz unendlich vieler Primzahlpaare, nennt man entsprechend vorsichtig z.B. "Vermutung".

Das ist wohl so, aber für eine Vermutung braucht man ja keinen Beweis, da genügt nämlich die bloße Annahme, dass es so ist, oder nein, dass es so sein kann, was man auch dazu sagen sollte um den Irrtum, vielmehr einen Streit zu vermeiden. Wenn man aber streiten will, dann braucht man nichts anderes als eine Vermutung zu äußern ohne dabei zu sagen, dass es sich um eine solche Vermutung handelt. Was natürlich einen vernünftigen Gesprächspartner vorraussetzt, denn ohne sein Verständnis gegenüber einer solchen Vermutung, ist der Streit ebenso vollkommen, als würde man nicht sagen, dass es sich um eine Vermutung handelt. Dann ist aber alles Reden nutzlos. Es gibt solche Leute, die bis aufs Blutvergießen streiten, siehe Terroristen, Selbstmordattentäter, Prügelknaben. Ich gehe nun nicht davon aus dass solche Leute ein Internetforum besuchen oder sich in Bilbliotheken treffen, denn ihr Schlachtfeld ist ja ein anderes.

[Anton Uwe]

Wer ist "man" in dem Falle?

z.B. Euklid:
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarch ... von_Euklid
Sind nur 4 Zeilen.

[Elrik]

Wer ist "man" in dem Falle?

z.B. Euklid:
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarch ... von_Euklid
Sind nur 4 Zeilen.

Ich würde dem Euklid gern sagen, dass er nicht alle Tassen im Schrank seiner Küche hat und darum nicht alle Tassen und schon gar nicht die Undlichkeit gesehen haben kann, denn die Tassen im Schrank seiner Küche sind begrenzt viele Tassen nicht unendlich viele Tassen. Schade, dass er nicht da ist. Aber das ist mit den Primzahlen nicht anders, will ich meinen. Wieviele Primzahlen kannte der Euklid wohl und nennt diese begrenzte Anzahl von Primzahlen "Unendlich viel"? Nee, oder?

[Anton Uwe]

@Elrik
Was genau verstehst Du an diesem Beweis nicht?