Die Formeln sind nur dann äquivalent, wenn sie dieselben Ergebnisse liefern. Weil die beiden Formel dieselben Ergebnisse liefern, sind sie äquivalent.
Ist ihr Taschenrechner kaputt? Ich glaube eher nicht. Das Problem liegt woanders. Ich erkläre es Ihnen: Nehmen wir die Lorentztransformation für den Ort her:
x'=( x - v t )/Ö(1-v²/c²)
Für ein beliebiges aber festes t nehmen wir einmal v=c/2 und v=-c/2. Das bedeutet also, einmal bewegt sich das Koordinatensystem in die eine Richtung und andermal in die andere Richtung. Da sind wir uns ja einig. Dann nehmen wir noch ein x=d, wobei d beliebig ist. Jetzt die Fallunterscheidung:
v=c/2:
K' (das bewegte System) bewegt sich in positive x-Richtung und erhalten mit der Einsetzung irgendein Ergebnis (wenn Sie ein konkretes Ergebnis wollen, setzen Sie doch d=1m oder so), also:
x'_1=(d-c/2)/Ö(3/4)
Es sei jetzt noch einmal angemerkt: Es wurden die Bezugssysteme jetzt konkret gewählt, wir wissen jetzt wo die positive und damit auch negative x-Richtung ist. Jetzt kommt der andere Fall. Da die Koordinatensysteme schon gewählt worden sind, müssen wir, um die Symmetrie zu erhalten ein anderes x wählen, also x=b, wobei (ganz wichtig!!! Ich wiederhole: Symmetrie!!!) b=-d. Dann:
v=-c/2:
x'_2=(-d+c/2)/Ö(3/4)
Wie einfach zu sehen ist, ist: x'_1=-x'_2
Das Vorzeichen ist einfach durch die Wahl der Koordinatensysteme begründet.
Ich versuche es bildlich zu erklären:
Sie gucken, wie der Zug nach Moskau in positive x-Richtung fährt und wollen wissen, was für eine Ortskoordinate der russische Austauschstudent, von dem Sie sich gerade verabschiedet haben, misst. Dabei wollen Sie die Ortskoordinate im transformierten System wissen, die irgendwo vor Ihnen (also in Richtung des Zuges, zu dem Sie schauen) ist. Jetzt müssen Sie sich aber noch von einem spanischen Austauschstudenten verabschieden, und Sie schauen in die andere Richtung (lassen die Vorzeichen des Koordinatensystems nach Voraussetzung aber gleich, da der Zug ja mit v=-c/2 fährt). Jetzt wollen Sie genau mit dem gleichen t und auch der gleichen Entfernung vor Ihnen (aber dieses Mal in negativer x-Richtung, weil die Situationen sonst nicht gleich wären. Stellen Sie sich das bildlich vor: Erste Situation: Zug vor mir, Ortskoordinate vor mir, zweite Situation: Zug vor mir, Ortskoordinate hinter mir. Das wär ja total schwachsinnig) die Ortskoordinate im transformierten System wissen. Die Beträge von b und d müssen also gleich sein, aber weiter muss b=-d gelten, offensichtlich. Deswegen erhalten wir für x'_1 und x'_2 die oben genannten Ergebnisse, durch die vorher festgelegte Wahl der Koordinatensysteme. Die Beträge (oder auch anders: Abstand zu mir, Beobachter) sind aber gleich und darauf kommt es an.
Für die Zeit kann man die gleiche Argumentation entwickeln.
Bei Ihrer 'umgestellten' Formel funktioniert meine Argumentation übrigens nicht, also sind die Formeln nicht äquivalent, siehe:
x' = x (c - v) / Ö ( c² - v² )
Sie können in der Klammer im Zähler einmal v=c/2 und andermal v=-c/2 einsetzen und erhalten andere (richtungsabhängige) Ergebnisse, selbst wenn man auf das Vorzeichen von x achtet. Diese Formel ist also NICHT äquivalent zu der allgemein bekannten Transformationsgleichung.