Man will eine Aussage über eine natürliche Zahl überprüfen.
Um das zu tun, überprüft man die Aussage für alle natürlichen Zahlen von eins bis hundert. Wenn die Aussage jedes Mal stimmt, dann gilt das auch für alle weiteren natürlichen Zahlen?
Und dieses Verfahren nennt man dann vollständige Induktion?
Habe ich Sie da richtig verstanden?
Elrik hat geschrieben:Die Zahlen vo neins bis einhundert müssen gezählt werden, erzeugt werden. Für alle weitere Zahlen gilt das Selbe.
Man will eine Aussage über eine natürliche Zahl überprüfen.
Um das zu tun, überprüft man die Aussage für alle natürlichen Zahlen von eins bis hundert. Wenn die Aussage jedes Mal stimmt, dann gilt das auch für alle weiteren natürlichen Zahlen?
Und dieses Verfahren nennt man dann vollständige Induktion?
Habe ich Sie da richtig verstanden?
Das meinen die Herrn Todoroff und Elrik vllt. oder auch nicht, aber das stimmt nicht.
Das ein Sachverhalt für die Zahlen von 1 bis 100 gilt, heisst nicht, dass er für alle natürlichen Zahlen gilt.
Z.B. Für die Zahlen von 1 bis 100 gilt, dass sie alle kleiner als 200 sind. Das gilt aber für 250 nicht.
Idee der Vollständigen Induktion:
(Ich verzichte alle Voraussetzungen zu erklären, wie zb. dass sie nur bei fundierten Mengen usw. funktioniert.)
Man will Zeigen, dass P(x) für alle x in den Natürlichen Zahlen gilt. P(x) ist ein Prädikat, also eine Funktion die in diesem Fall von Natürlichen Zahlen auf Boolsche werte (wahr, falsch) abbildet.
Um zu zeigen, dass P(x) für alle x in den Nat. Zahlen gilt geht man wie folgt vor.
1. Verankerung: Man zeigt, dass P(x) für das kleinste x der Menge gilt. Also z.B. P(0) wahr ist.
2. Induktionsschritt: Man zeigt, dass P(x) impliziert das P(x+1). Also, dass unter der Annahme das P(x) wahr ist, unweigerlich auch P(x+1) wahr sein muss.
Es ist einfach zu sehen, dass wenn man diese beiden Dinge zeigt, dass sich dann folgende Kette ergibt:
P(0) impliziert P(1) impliziert P(2)... usw.
Da wir wissen, dass P(0) wahr ist, und dass aus P(x) folgt dass P(x+1), ergibt sich dann die Korrektheit, der ganzen Kette.
Das ist bei weitem nicht dasselbe wie zu behaupten, dass:
(P(1) und P(2) und P(3) und P(4) und .... P(100)) impliziert P(x) für alle x aus den natürlichen Zahlen.
Man zeigt, dass der SCHRITT stimmt und es für das kleinste element stimmt: daraus folgt dass es für alle stimmt.
Das was die Herren behaupten, dass man aus der Tatsache, dass es für eine bestimmte Menge stimmt folgern kann, dass es für alle stimmt ist Quatsch.
Ich hoffe sie verstehen was ich meine.