Realitätsbezug der Mathematik...
Verfasst: Mittwoch 11. Oktober 2006, 16:22
Hi Leute!
Ich lese seit einiger Zeit in diesem Forum und habe mich jetzt mal entschlossen etwas zu allgemeinen Verwirrung beizutragen.
Bei einigen Mitgliedern scheint es ein allgemeines Misstrauen der "herkömmlichen" Mathematik gegenüber zu geben. Insbesondere die (Un)Endlichkeit der natürlichen Zahlen sorgte ja für Gesprächsstoff.
Die Antworten und Beweise zu diesem Thema fanden innerhalb dieses Systems statt und wurden (vermutlich deswegen) nicht akzeptiert. Gleichzeitig fand eine Vermischung von alltäglichen Begriffen und mathematischen Definitionen statt, welche die Diskussion nicht unbedingt einfacher macht.
Was also kann man tun, um die Auseinandersetzung zu retten? Als erstes sollten wir die Mathematik vielleicht nur als abstraktes System von Axiomen (nicht bewiesenen Voraussetzungen) und Ableitungsregeln (was ist eine korrekte Schlussfolgerung?) sehen und den evenuellen Zusammenhang zu Realität außen vor lassen.
Was kann man dann machen? Nun, man kann hervorragend Elfenbeintürme bauen! Will sagen: Man leitet aus einigen Axiomen (z.B. den Körperaxoimen) Eigenschaften, der beschriebenen Konstrukte (z.B. die Eindeutigkeit des neutralen Elementes im Körper), ab und nennt das bewiesene Ergebnis z.B. einen "Satz".
Das Spielchen kann man ewig so weiter treiben, denn schließlch lassen sich bereits bewiesene Sätze hervorragend weiterverwenden. Besonders theoretische Mathematiker treiben an sich wenig anderes und basteln einfach munter weiter an dem Turm...
Sind die Axiome sinnvoll* gewählt, lassen sich innerhalb des Systems keine widersprüchlichen Aussagen ableiten (wichtige Beobachtung von Gödel: in diesem Fall gibt es aber unentscheidbare Problemstellungen!), aber dafür eine Menge anderer Eigenschaften.
In diesem Sinne ist die gesamte Mathematik nichts bedeutungsschwereres oder "wirklicheres" als jedes andere System, mit den beschriebenen Eigenschaften. Insbesondere "existiert" im materiellen Sinne keine der angesprochenen Sachverhalte - weder die Zahlen noch die Funktionen sind greifbare Dinge für die außer den festgelegten Ableitungsregeln (und den Folgerungen) noch andere Gesetze gelten!
*ich sage "sinnvoll", denn sonst hätte das Axiomensystem Widersprüche und es ließe sich damit wenig Sinnvolles anstellen...
Ich werde im Folgenden unsere Wahrnehmungen/Beobachtungen in °...° setzen und deren mathematische Entsprechungen in ^...^.
Aber wo bleibt nun der Realitätsbezug? Schließlich habe ich bisher nur von Luftschlössern geschwafelt, deren Konsistenz zwar geklärt ist, aber nicht der Zusammenhang zur Realität. Aber irgendwie scheinen mathematische Zusammenhänge in der uns umgebenden Welt verdammt häufig vorzukommen. Und das hört bei den ^natürlichen Zahlen^ noch lange nicht auf:
Jeder der mal °Minus rechnet°, bedient sich der ^Addition der ganzen Zahlen^, jeder der sein letztes Brot mit jemandem oder eine Zahl durch etwas °teilt°, macht Bekanntschaft mit der ^Multiplikation mit Bruchzahlen^. Die °Seitenlängen in Dreiecken° (also ^rechtwinkligen^) verhalten sich wie der ^Satz des Pythagoras^ und man stolpert dabei sogar ab und an über ^irrationale Zahlen^. Und so weiter...
Aber auch weniger erfahrbare Sachverhalte der Mathematik werden zur korrekten Vohersage von Abläufen genutzt: ^komplexe Zahlen^ helfen tagtäglich einer Menge Elektrotechniker und die Informatiker wären ohne ^Tensoren (insbesondere Matrizen)^ und ^boolsche Algebra^ wohl aufgeschmissen.
Heuristisch gesehen kann man also ohne Einschränkungen sagen: Mathematik liefert eine konsistente Beschreibung der Realität (klingt nach einer dummen Frage, aber gibt es eigentlich einen nicht-heuristischen/dogmatischen Beweis zur Korrektheit der mathematischen Beschreibungen?).
Wer sich also über die Übereinstimmung zwischen Realität und deren mathematische Beschreibung Sorgen macht, müsste der Konsequenz und Konsistenz halber alle Ergebnisse der Mathematik verwerfen! Was das in der heutigen Welt bedeutet, stellen sich die meisten Leute gar nicht vor!
Tut man das (und ich würde es keinem empfehlen), macht man nichts anderes als ein Wissen zu verneinen, das sich hervorragend zur Beschreibung der Welt eignet - nicht mehr und nicht weniger...
So ... puh ... das war anstrengend ... und lang Naja - ihr schafft das schon...
Ich lese seit einiger Zeit in diesem Forum und habe mich jetzt mal entschlossen etwas zu allgemeinen Verwirrung beizutragen.
Bei einigen Mitgliedern scheint es ein allgemeines Misstrauen der "herkömmlichen" Mathematik gegenüber zu geben. Insbesondere die (Un)Endlichkeit der natürlichen Zahlen sorgte ja für Gesprächsstoff.
Die Antworten und Beweise zu diesem Thema fanden innerhalb dieses Systems statt und wurden (vermutlich deswegen) nicht akzeptiert. Gleichzeitig fand eine Vermischung von alltäglichen Begriffen und mathematischen Definitionen statt, welche die Diskussion nicht unbedingt einfacher macht.
Was also kann man tun, um die Auseinandersetzung zu retten? Als erstes sollten wir die Mathematik vielleicht nur als abstraktes System von Axiomen (nicht bewiesenen Voraussetzungen) und Ableitungsregeln (was ist eine korrekte Schlussfolgerung?) sehen und den evenuellen Zusammenhang zu Realität außen vor lassen.
Was kann man dann machen? Nun, man kann hervorragend Elfenbeintürme bauen! Will sagen: Man leitet aus einigen Axiomen (z.B. den Körperaxoimen) Eigenschaften, der beschriebenen Konstrukte (z.B. die Eindeutigkeit des neutralen Elementes im Körper), ab und nennt das bewiesene Ergebnis z.B. einen "Satz".
Das Spielchen kann man ewig so weiter treiben, denn schließlch lassen sich bereits bewiesene Sätze hervorragend weiterverwenden. Besonders theoretische Mathematiker treiben an sich wenig anderes und basteln einfach munter weiter an dem Turm...
Sind die Axiome sinnvoll* gewählt, lassen sich innerhalb des Systems keine widersprüchlichen Aussagen ableiten (wichtige Beobachtung von Gödel: in diesem Fall gibt es aber unentscheidbare Problemstellungen!), aber dafür eine Menge anderer Eigenschaften.
In diesem Sinne ist die gesamte Mathematik nichts bedeutungsschwereres oder "wirklicheres" als jedes andere System, mit den beschriebenen Eigenschaften. Insbesondere "existiert" im materiellen Sinne keine der angesprochenen Sachverhalte - weder die Zahlen noch die Funktionen sind greifbare Dinge für die außer den festgelegten Ableitungsregeln (und den Folgerungen) noch andere Gesetze gelten!
*ich sage "sinnvoll", denn sonst hätte das Axiomensystem Widersprüche und es ließe sich damit wenig Sinnvolles anstellen...
Ich werde im Folgenden unsere Wahrnehmungen/Beobachtungen in °...° setzen und deren mathematische Entsprechungen in ^...^.
Aber wo bleibt nun der Realitätsbezug? Schließlich habe ich bisher nur von Luftschlössern geschwafelt, deren Konsistenz zwar geklärt ist, aber nicht der Zusammenhang zur Realität. Aber irgendwie scheinen mathematische Zusammenhänge in der uns umgebenden Welt verdammt häufig vorzukommen. Und das hört bei den ^natürlichen Zahlen^ noch lange nicht auf:
Jeder der mal °Minus rechnet°, bedient sich der ^Addition der ganzen Zahlen^, jeder der sein letztes Brot mit jemandem oder eine Zahl durch etwas °teilt°, macht Bekanntschaft mit der ^Multiplikation mit Bruchzahlen^. Die °Seitenlängen in Dreiecken° (also ^rechtwinkligen^) verhalten sich wie der ^Satz des Pythagoras^ und man stolpert dabei sogar ab und an über ^irrationale Zahlen^. Und so weiter...
Aber auch weniger erfahrbare Sachverhalte der Mathematik werden zur korrekten Vohersage von Abläufen genutzt: ^komplexe Zahlen^ helfen tagtäglich einer Menge Elektrotechniker und die Informatiker wären ohne ^Tensoren (insbesondere Matrizen)^ und ^boolsche Algebra^ wohl aufgeschmissen.
Heuristisch gesehen kann man also ohne Einschränkungen sagen: Mathematik liefert eine konsistente Beschreibung der Realität (klingt nach einer dummen Frage, aber gibt es eigentlich einen nicht-heuristischen/dogmatischen Beweis zur Korrektheit der mathematischen Beschreibungen?).
Wer sich also über die Übereinstimmung zwischen Realität und deren mathematische Beschreibung Sorgen macht, müsste der Konsequenz und Konsistenz halber alle Ergebnisse der Mathematik verwerfen! Was das in der heutigen Welt bedeutet, stellen sich die meisten Leute gar nicht vor!
Tut man das (und ich würde es keinem empfehlen), macht man nichts anderes als ein Wissen zu verneinen, das sich hervorragend zur Beschreibung der Welt eignet - nicht mehr und nicht weniger...
So ... puh ... das war anstrengend ... und lang Naja - ihr schafft das schon...